domingo, 14 de noviembre de 2010

OBRA TEATRO NAVIDAD

La estrella

OBRA DE  TEATRO (NAVIDAD)


*En la pared detrás del altar en letras grandes:


                        BUSCO
                                   -A JESÚS
                                    DE NAZARET
                                    NACIDO EN BELEN

(La iglesia está oscura. Desde distintos puntos dentro de la iglesia se hacen escuchar  las siguientes voces:)

                                   -BUSCO EL CAMINO
                                   -BUSCO LA LUZ
                                   -BUSCO LA VERDAD
                                   -BUSCO LA VIDA
                                   -BUSCO LA VOZ Y LA PALABRA
                                   -BUSCO LA FELICIDAD
                                   -BUSCO AL HERMANO
                                   -BUSCO EL AMOR
                 TODOS:         BUSCO LA SALVACIÓN

(Efecto sonoro: )
                                   Busco, busco...busco....   (con efectos de eco)

CAMINANTE: (Entrando por el pasillo central, caminando con un bastón en
la mano)
Herman@s, yo busco el camino. Desconozco el rumbo, desconozco el destino. ¿Quién me lo indicará? ¿No habrá nadie en el mundo que me lo pueda señalar? Un camino que   tenga sentido, un camino.... ¡No! El camino. Busco el camino. ¿Qién sostendrá mi esperanza?

(Efecto sonoro: Isaías 40, 3-5)
                        “Abran el camino a Yahvé en el desierto.
                        En la estepa tracen una senda para Dios.
                        Que todas las quebradas sean rellenadas
                        y todos los cerros y lomas sean rebajados,
                        que se aplanen las cuestas,
                        que queden las colinas como un llano;
                        porque aparecerá la gloria de Yahvé
                        y todos la verán porque Yahvé ha hablado”.

M Ú S I C A: Un pueblo que camina por el mundo
                        gritando ven, Señor,
                        Un pueblo que busca en esta vida
                        la gran liberación.

(El caminante encuentra a un ciego que va entrando por el pasillo lateral de la izquierda caminado a tientas con las manos extendidas)

CAMINANTE:         -¿Qué buscas?

CIEGO:                     -Busco la luz. No puedo ver. El mundo es la oscuridad para
mi. Soy ciego. No me cuentan del sol, de la aurora y del
ocaso, no lo veo. Me hablan del esplendor de las estrellas,
no las miro. Me dicen que la luna es bella, no conozco la belleza. Oigo palabras hermosas sobre el azul del cielo, las flores del campo, el agua clara, los cerros y volcanes y tantas maravillas que hay en el mundo: colores, matices suaves y brillantes. Para mi el mundo es gris. No veo el rostro de los niños, no veo sus sonrisas. No veo el reflejo de alegrías y penas en sus ojos. Soy ciego. ¡Quiero ver! ¿Quién me dará la luz?- ( y volteándose hacia el caminante dice)
-Y tú, tú, ¿Quién eres? ¿Qué buscas?

CAMINANTE:         -Busco el camino. Pero me doy cuenta de que también soy
ciego como tú, pues no sé donde poner el próximo paso. Buscamos lo mismo: LUZ Y CAMINO.- Vamos hermano, busquemos juntos...

CIEGO:                     ¡Vamos, fortalece mi esperanza.!

(Los dos  siguen caminando, el caminante toma del brazo al ciego. Luego caminan despacio y  se colocan en un lugar mientras se escucha lo siguiente:)

(Efecto sonoro: Isaías 42, 6-7)
“Yo Yahvé te he llamado para cumplir mi justicia, te he formado y tomado de la mano, te he destinado para que unas a mi pueblo y seas luz para todas las naciones. Para abrir los ojos a los ciegos, para sacar a los presos de la cárcel y del calabozo a los que estaban en la oscuridad”.

M Ú S I C A:             Nacidos de la luz hijos del día
                                   Nacidos de la luz.
1.     Nacidos de la luz, hijos del día
vamos hacia el Señor de la mañana,
su claridad disipa nuestras sombras
y llena el corazón de regocijo.
2.     Que nuestro Dios el Padre de la gloria
limpie la oscuridad de nuestros ojos
y nos revele al fin cuál es la herencia
que nos legó en su hijo primogénito.



BUSCADOR DE
LA VERDAD:          (Entrando por el pasillo lateral derecho, mientras que el caminante y el ciego lo miran desde lejos:)
                                    Hace tanto tiempo que estoy buscando. Buscando por el camino de las ciencias. Buscando en las distintas filosofías, buscando en las ideologías, buscando la VERDAD.- ¿Qué es la verdad? ¿Quién me la enseña? Unos me dijeron que busque en los astros, el tarot, otros que la encontraría en las religiones y sectas; otros me quisieron convencer que la verdad está en el TENER, en el PLACER, y en el PODER.- Probé de todo y lo que me quedó fue un gran vacío. No la riqueza es la verdad, ni el poder, ni el placer. Las ciencias y la filosofía sólo me dieron una chispa de luz. Pero la VERDAD VERDADERA ha de ser una llama que arde sin apagarse jamás. ¿Dónde está la verdad?

(Efecto sonoro: Éxodo 3,2-6
                                    “El ángel de Yahvé se mostró en una llama de fuego, en medio de una zarza. Moisés vio que la zarza ardía pero no se consumía... Y Dios llamó a Moisés en medio de la zarza diciendo: “Yo soy el Dios de tus padres, el Dios de Abraham, el Dios de Isaac y el Dios de Jacob”.

CAMINANTE Y
CIEGO:                     (Acercándose) –Hermano, ¿tú también buscas?

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          ¿Quiénes son ustedes?

CAMINANTE:          -Soy caminante, peregrino en busca del camino. Pero veo que busco igual que tú. Soy errante y también busco la verdad.

 BUSCADOR DE
LA VERDAD:          (Dirigiéndose al ciego) – Y tú, ¿quién eres?

CIEGO:                     ¡Ay amigo! Soy ciego. Busco la luz. Mi deseo es ver. Pero me doy cuenta que nos parecemos. Los dos somos ciegos y buscamos la verdad. Mi ceguera es más grande de lo que pensaba, por desconocer la VERDAD. Hermano, vamos, juntos buscaremos.

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          Vamos, les ruego hermanos, afirmen mi esperanza.

  
(Efecto sonoro: Isaías 11, 1-2
                                    “Una rama saldrá del tronco de Jesé, un brote surgirá de sus raíces. Sobre él reposará el espíritu de Yahvé. Espíritu de sabiduría e inteligencia, espíritu de prudencia y fuerza, espíritu de temor y de conocimiento de Yahvé”.

M Ú S I C A:             Donde reina la verdad, donde existe libertad
                                    donde hay paz, está presente el Señor.
                                    Porque Dios es la verdad, porque Dios es libertad,
                                    Porque Dios es justicia y amor.

(Desde el lado más oscuro del lugar, se deja oír el llanto de una mujer que está inclinada sobre el cuerpo muerto de su hijo)

MADRE:                   ¡Ay Dios mío! Se ha muerto mi hijo. Este era el último que me quedaba. Era mi única esperanza. Ahora su cuerpo está frío, sin vida. (Llora desconsolada)

CAMINANTE:          ¿Por qué lloras mujer?

MADRE:                   Ay Dios, hombre!  Mi hijo ha muerto. No tenía con que alimentarlo. De pura hambre murió. Uno tras otro se me ha ido.
                                    Como digo, el mayor murió por un pleito, el segundo se accidentó; luego murió mi marido. El alcohol lo arruinó y terminó arruinando el hogar. Ya no había con que mantener a mis hijos. Las cosas todas se volvieron tan caras. La vida se me acabó con todos ellos. Ustedes no saben cuánto dolor llevo en mi corazón. (Llora). Y lo que además me da pena, es que algún día yo voy a morir también. Pero ¡yo quiero vivir! ¡Quiero la vida! ¿Dónde está la vida?

CAMINANTE:          Todos buscamos la vida, no cualquier vida, sino la VIDA VERDADERA.

CIEGO:                     Ven con nosotros mujer, acompáñanos en  nuestra búsqueda.

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          Juntos nos ayudaremos a encontrar  lo que buscamos.

MADRE:                   Gracias hermanos, así se reaviva mi esperanza por la vida.

(Efecto sonoro: Isaías 49, 15-16
                                    “¿Puede una mujer olvidarse del niño que cría o dejar de querer al hijo de sus entrañas?  Pues bien, aunque se encontrara alguna que lo olvidase, yo nunca me olvidaré de ti. Mira como te tengo grabada en la palma de mis manos”.
                                    Isaías 7, 4
                                    “El Señor entonces les dará una señal: miren que una virgen está embarazada y dará a luz un hijo varón a quien le pondrá el nombre de Emmanuel: Dios con nosotros”

                                    El mundo por la guerra sangra sin razón,
M Ú S I C A:             Familias destrozadas buscan un hogar.
                                    El mundo tiene puesta la esperanza en ti, Dios de la Paz.
                                    Un pueblo que camina por el mundo,
                                    gritando VEN SEÑOR.
                                    Un pueblo que busca en esta vida,
                                    la gran liberación.

Tod@s siguen caminando...

CAMINANTE:          (Dirigiéndose hacia un lugar del escenario)
                                    Miren hermanos, alguien nos está haciendo señas....
                                    Nos está llamando. (Yendo hacia el sordomudo dice...)
                                    ¿Qué buscas hermano?

SORDOMUDO:       (Explica con señas que no oye, ni puede hablar, sólo los ha visto)

CAMINANTE:          (Con señas)
                                    ¿No oyes? ¿No hablas? (Hablando para si mismo:)
                                    Un mundo sin voz ni palabra, un mundo con muros altos y barreras, sin comunicación. Una vida sorda, de silencio, monótona.
                                    (Hablando con gestos hacia el sordomudo)
                                    Pero te quedan las señas como una chispa de esperanza, ¿qué buscas?

SORDOMUDO:       (Con gestos da a entender que desea oír y hablar)

CAMINANTE:          El oído es para oír, la lengua para hablar. Ven con nosotros hermano. Seremos tu voz, seremos tu oído, todos buscamos aquello de lo que carecemos, cada uno según su necesidad.
                                    En nuestro buscar y caminar nos ayudaremos juntos y estoy seguro de que existe Alguien que nos ha de traer lo esperado.

CIEGO:                     Vamos juntos. Entre muchos aumenta nuestra esperanza.

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          A veces todos somos sordos. Yo también he sido sordo. Quizás haya estado cerca de la verdad y no le he prestado oído; he sido mudo porque no he sabido responder.

MADRE:                   El también busca una VIDA MEJOR, como todos nosotros.
                                    Vamos pues...
(Todos siguen caminando...)

(Efecto sonoro: Isaías 50, 4a-5
                                    “El Señor Yahvé me ha concedido el poder de hablar como su discípulo y ha puesto en mi boca las palabras para aconsejar como es debido, al que está aburrido, cada mañana él me despierta y lo escucho como lo hacen sus discípulos.
                                    El Señor Yahvé me ha abierto los oídos, y no me resistí, ni me eché atrás”.

M Ú S I C A:             No temas arriesgarte, porque contigo yo estaré,
                                    no temas anunciarme porque en tu boca yo hablaré.
                                    Te encargo hoy mi pueblo para arrancar y derribar,
                                    Para edificar, destruirás y plantarás.
                                    TENGO QUE GRITAR, TENGO QUE ARRIESGAR,
                                    ¡AY DE MI SI NO LO HAGO!
                                    ¡CÓMO ESCAPAR DE TI, CÓMO NO HABLAR,
                                    SI TU VOZ ME QUEDA DENTRO.
                                    TENGO QUE ANDAR, TENGO NQUE LUCHAR
                                    ¡AY DE MI SI NO LO HAGO!
                                    ¡CÓMO ESCAPAR DE TI, CÓMO NO HABLAR,
                                    SI TU VOZ ME QUEDA DENTRO.

JOVEN:                    (Acercándose desde el campanario) Hombres, mujeres, jóvenes, niños, niñas, escúchenme. Esta vida no tiene sentido. Sólo desgracia y amargura y, a fin de cuentas, sólo tristeza y soledad. ¿No habrá algo mejor en este mundo?

CAMINANTE:          Ahí viene un joven, parece que está buscando algo.- (Y dirigiéndose a él le dice:).- ¿Qué buscas muchacho?

JOVEN:                    Busqué la alegría, busqué la felicidad, pero no la encontré. En mi afán por ser feliz pensaba encontrarla en el vicio. Me perdí. Terminé con todo lo que tenía y acabo de terminar de pisotear mi dignidad de hombre. Luego quise pasar la vida gozando con mujeres. No pensaba en hacerlas felices, sino abusar de ellas egoístamente. Sólo para mi propio gusto, sólo para un rato de placer. Y de cuántas no he abusado, al dejarlas en desgracia a cada una de ellas. Después comencé a probar la droga. Era tan fácil por medio de un cigarrillo, ponerme en “onda”, olvidarlo todo y olvidar esta amarga vida?
                                    De momento estoy echando a perder mi juventud. ¿Hasta cuando voy a aguantar?

CAMINANTE:          Buscas la alegría, buscas la felicidad, buscas una vida mejor. La vida que pasaste no es la vida verdadera. Todos nosotros estamos en busca de ella. Si quieres ven con nosotros.

CIEGO:                     Ven, la juventud ha de tener la esperanza de una nueva luz, has de fortalecer también nuestra esperanza.

 BUSCADOR DE
LA VERDAD:          Ven, ya has dado un paso reconociendo que en el vicio y la droga no está la felicidad. Hay algo más grande para nosotros. Y se me hace que nos estamos acercando cada vez más hacia la VERDAD.

MADRE:                   Ven, hijo mío. Todavía estás con vida, busca con nosotros la VIDA VERDADERA y encontrarás la felicidad.

JOVEN:                    Si me aceptan en su compañía, vamos juntos pues.

(Desde otro punto se acercan otras tres jóvenes mujeres)

1ª JOVEN:               Hermanos, acéptennos también  a nosotras que vamos buscando lo mismo. Hemos buscado la felicidad, ¿dónde podemos encontrarla?

2ª JOVEN:               Ustedes nos dan una nueva luz y una nueva esperanza.

3ª JOVEN:               Ustedes llevan  un mensaje de vida verdadera que es ALEGRÍA.

CAMINANTE:          Vengan todos y todas quienes quieran acompañarnos en nuestra búsqueda.
                                   
(Poco a poco se juntan más personas de distintos lados caminando con el grupo)

(Efecto sonoro: Isaías 60 y 61, 10
                                    “Levántate y brilla, que ha llegado tu luz, y la gloria de Yahvé amanecerá sobre ti. La oscuridad sobre la tierra y los pueblos están en la noche, pero sobre ti aparece  su gloria. Salto de alegría delante de Yahvé, y mi alma se alegra en mi Dios. Pues me puso ropas de salvación y me abrigó con el manto de justicia, como un novio se coloca su anillo o como la esposa se arregla sus joyas.
                                    Pues así como brotan de la tierra las semillas o como aparecen las plantitas en el jardín, así el Señor Yahvé hará brotar la justicia y la felicidad a la vista de todas las naciones”.

M Ú S I C A:             Himno a la alegría.

POBRE:                   (Cojeando y pidiendo limosna con su sombrero entre la
                                   gente del público:)

POBRE:                    Por el amor de Dios, por el amor de Dios, una limosnita por el amor de Dios.- Dios lo bendiga, Dios se los pague. Regáleme mi pan, por el amor de Dios... unos reales, por el amor de Dios, un tamalito por el amor de Dios...
                                    (Llegando hasta el grupito, y mirándoles con desconfianza)
                                    Ustedes, ¿quiénes son?.- No me vayan a quitar lo que mendigué como muchas veces me ha pasado...

CAMINANTE:          Ten confianza hermano.

POBRE:                    (Amargado) Hermano, hermano... suena bonita esa palabra. Yo no creo en la hermandad, no existe el hermano. En este mundo sólo existe la ambición, el aprovecharse de los demás, el oportunismo. Sólo hay lobos que devoran a los corderos y leones que se comen a los cabritos. No hombre, hace tiempo que no creo ya en esta palabra.

CAMINANTE:          Sin embargo, lo que buscas, precisamente  es al HERMANO/A, alguien que te tienda la mano, alguien que te abra el corazón, alguien que te brinde su amor.

CIEGO:                     No será que también tú, en el fondo, busques una nueva luz?

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          ¿Acaso no es en la hermandad donde está la razón de nuestra vida? ¿No son hermanos la verdad y el amor?

MADRE:                   ¿No buscas acaso tú la vida verdadera?

JOVEN:                    ¿No tienes también ansias de felicidad?

POBRE:                    Tienen razón. Mi hambre no sólo es de pan, sino de algo más. Parece que han encendido en mi, una chispa de esperanza.

CAMINANTE:          Ven con nosotros y nosotras, todos  y todas buscamos lo mismo, buscamos la salvación.

 
(Efecto sonoro: Isaías 41, 17-18
                                    “Los pobres y los humildes buscan agua pero no encuentran, y se les seca la lengua de sed. Pero yo, Dios de Israel, no los abandonaré. Yo Yahvé los escucharé.
                                    Haré brotar ríos en los cerros pelados y vertientes en medio de los valles. Convertiré el desierto en lagunas y la tierra seca en manantiales”.
M Ú S I C A:             Cuando el pobre nada tiene y aún reparte...
                                    (El grupo sigue caminando)

CAMINANTE:          Vengan hermanos y hermanas, vengan todos y todas quienes tengan ansia de encontrar el CAMINO.
                                   
CIEGO:                     Vengan quienes tengan deseos de ver la LUZ.

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          Vengan quienes tengan deseos de VERDAD.

MADRE:                   Acompáñennos los que tengan el anhelo de LA VIDA VERDADERA

GRUPO DE
JÓVENES:               Vengan quienes buscan la FELICIDAD.

POBRES:                 Vengan quienes tengan hambre de HERMANDAD.

(El grupo sigue caminando cantando el siguiente canto:)

C A N T O:                Esperando
                                    Esperando, esperando,
esperando al Mesías que nos ha de salvar
tierra y hombres que sueñan porque Dios va a llegar.

*Esperando... Esperando Señor tu venida, tu venida de verdad.

Buscamos la luz que nos guía
y encendemos estrellas de papel,
¿hasta cuando Señor jugaremos
como niños con la fe?
Aunque vanos discursos gritemos,
 pregonando una falsa hermandad,
¿hasta cuándo Señor viviremos
sin justicia y caridad?

*Esperando...
(Se van encendiendo algunas luces)

EFECTO SONORO:  “YO SOY EL CAMINO,
                                                       LA VERDAD
                                                           Y LA VIDA.
Quien me sigue no anda en tinieblas, sino que tendrá la luz de la vida.
Mateo 5, 3-10
“Felices los que tienen espíritu de pobre,
porque de ellos es el reino de los cielos...

CAMINANTE:          Creo que ya no estamos lejos de lo que buscamos, se me abre un nuevo CAMINO.

   (Aparece Juan Bautista por algún lugar inesperado   del escenario y camina despacio mirando a la gente)

LECTORA 1:           Mateo 3, 1:
                                    “En ese tiempo se presentó Juan el Bautista en el desierto de Judea predicando de esta forma”:

JUAB BAUTISTA: “Cambien su vida y su corazón, porque está cerca el Reino de los Cielos”. (Mt. 3, 2)

LECTOR 2:              Juan empezó a predicar por toda la región del río Jordán diciéndoles que cambiaran su manera de vivir, que conviertan su corazón. (Lc. 3, 3)

JUAN BAUTISTA: Preparen el camino del Señor, allanen los senderos, y escuchen la Palabra de Dios.

(Mientras se lee el Evangelio, las luces se enfocan a un lugar
donde está el Niño, María y José, puede ser un “cuadro vivo” o
símbolos que representan que Dios ha nacido hoy)

LECTORA 1:           Proclama el Evangelio de Lc. 2, 1-20
(Durante la lectura del Evangelio los personajes se van acercando poco a poco al lugar donde ha nacido el Niño)

M Ú S I C A:             “Navidad sin pandereta” de Manzano

                                                           CONCLUSIÓN

(Uno a uno, los actores se van levantando según su turno y se van dirigiendo al público, los demás se quedan en postura de contemplación y meditación del cuadro de nacimiento)

CAMINANTE:          Nosotr@s hemos encontrado lo que buscamos. Y ustedes, ¿qué buscan? ¿cuál es su esperanza? ¿por qué han venido aquí esta noche?
                                    (Son preguntas que se hacen al público para que responda una o dos personas)

CAMINANTE:          Todas nuestras esperanzas se cumplen en Jesús que ha nacido en Belén, que ha venido ha hacerse uno de nosotros. Desde esta noche todos estamos invitados a buscar, a ver y a reconocer a Aquél “Dios con-nosotros” presente hoy como ayer en el más humilde de sus hermanos, presente en su Palabra y en los signos de vida. Desde esta noche existe Alguien a favor del hombre y mujer marginados.

CIEGO:                     Desde esta noche el hombre y la mujer pueden levantar la cabeza y comenzar a vivir en la LUZ, porque Dios le ha otorgado una alta dignidad en su Hijo. (Puebla 188)

BUSCADOR DE
LA VERDAD:          Desde esta noche, la VERDAD es que el pequeño ya no es pequeño, y el grande ya no es grande, el pobre ya no es pobre y el rico ya no es rico, porque cambiaron los valores: “Dios levanta del polvo a los humildes y derriba a los poderosos de sus tronos, colma de bienes a los pobres y a los ricos los despide vacíos”. (Lc. 1, 52-53)

MADRE:                   Desde esta noche ha nacido la VIDA, ¿queremos quedarnos muertos por no dejarla nacer en nosotros/as mismos/as?

SORDOMUDO:       Desde esta noche “Alguien se ha hecho voz de los/as que no tienen voz” (Puebla)

JOVEN:                    Desde esta noche ha venido la FELICIDAD, la juventud camina al encuentro del LIBERTADOR, sólo él hace libre verdaderamente a la persona. El comprende nuestras debilidades y nos ofrece un encuentro muy personal y transformador. Es amigo que no falla nunca.  Camino de total realización. (Puebla 1183)

POBRE:                    Desde esta noche hay Alguien que ofrece su vida por el AMOR, LA PAZ Y LA SOLIDARIDAD entre la humanidad. Desde esta noche, Alguien nos hizo hermanos y hermanas, haciéndose hermano nuestro.

LECTOR 2:              Desde esta noche, hermanos y hermanas, sabemos que Dios entra en nuestra historia, en nuestro mundo.
                                    Desde esta noche, Dios llega a nosotros y nosotras,  ahí donde hay:
·      Rebaños y pesebres
·      Cafetales y maizales
·      Ranchos y hogares humildes
·      Talleres y oficinas
·      Ahí donde hay hambre y frío
·      Ahí donde hay corazones quebrantados
·      Donde el egoísmo, la envidia, el orgullo y la violencia destruyen lo mejor que hay en la persona humana.
·      Donde la guerra y la ambición de los poderosos ha desfigurado el rostro humano, la imagen de Dios.
Cristo asume nuestra condición humana, con todos sus valores y con todas sus debilidades, y asumiéndola la redime.
-Cada vez que reconocemos la grandeza de lo pequeño y lo sencillo, NACE JESÚS, SE HACE NAVIDAD.
-Cada vez que logramos superar las divisiones entre hermanos, en los hogares, entre las clases sociales, entre religiones, culturas y naciones, NACE JESÚS, SE HACE NAVIDAD.
-Cada vez que vencemos nuestra indiferencia frente al hermano y hermana que sufren, frente al dolor de la humanidad, frente a la destrucción de la naturaleza y la casa donde habitamos toda la humanidad, NACE JESÚS, SE HACE NAVIDAD.

TODOS: Hermanos y hermanas, les deseamos a todos y a todas una
                                            FELIZ NAVIDAD

martes, 26 de octubre de 2010

TORRES DE HANOI

revisar los siguientes enlaces:http://www.ematematicas.net/torre.php
http://www.rodoval.com/heureka/hanoi/
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2g.htm

TORRE DE HANOI 2

Las Torres de Hanoi es un juego matemático que consiste en tres varillas verticales y un número indeterminado de discos que determinarán la complejidad de la solución. No hay dos discos iguales, están colocados de mayor a menor en una varilla ascendentemente, y no se puede colocar ningún disco mayor sobre uno menor a él en ningún momento. El juego consiste en pasar todos los discos a otra varilla colocados de mayor a menor ascendentemente.
Leyenda: Dios al crear el mundo, colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio con monjes, los cuales tienen la tarea de resolver esta Torre de Hanoi divina. El día que estos monjes consigan terminar el juego, el mundo acabará. El mínimo número de movimientos que se necesita para resolver este problema es de 264-1. Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en poco menos de 585 mil millones de años. Como comparación para ver la magnitud de esta cifra, la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.
Resolución: el problema de las Torres de Hanoi es curioso porque su solución es muy rápida de calcular, pero el número de pasos para resolverlo crece exponencialmente conforme aumenta el número de discos. Para obtener la solución más corta, es necesario mover el disco más pequeño en todos los pasos impares, mientras que en los pasos pares sólo existe un movimiento posible que no lo incluye. El problema se reduce a decidir en cada paso impar a cuál de las dos pilas posibles se desplazará el disco pequeño:
El algoritmo en cuestión depende del número de discos del problema.
  • Si inicialmente se tiene un número impar de discos, el primer movimiento debe ser colocar el disco más pequeño en la pila destino, y en cada paso impar se le mueve a la siguiente pila a su izquierda (o a la pila destino, si está en la pila origen).
La secuencia será DESTINO, AUXILIAR, ORIGEN, DESTINO, AUXILIAR, ORIGEN, etc.
  • Si se tiene inicialmente un número par de discos, el primer movimiento debe ser colocar el disco más pequeño en la pila auxiliar, y en cada paso impar se le mueve a la siguiente pila a su derecha (o a la pila origen, si está en la pila destino

viernes, 22 de octubre de 2010

TORRE DE HANOI

La Torre de Hanoi
Índice
  1. Introducción
  2. Notación
  3. Un algoritmo recursivo
  4. Dos algoritmos iterativos
  5. Los movimientos de cada disco
  6. La dirección de los movimientos
  7. La posición de los discos
  8. Saliéndose del camino
  9. Cambiando la posición inicial
  10. Cambiando la posición final
  11. Variantes
  12. Algunos enlaces
Introducción
En 1883 empezó a venderse en Francia un antiguo rompecabezas oriental, rescatado para Occidente por el profesor N. Claus (de Siam) y cuyas primeras referencias eran los escritos del ilustre mandarín Fer-Fer-Tam-Tam. Según una leyenda india, en el Templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso sesenta y cuatro discos de oro puro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los bramanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño. Cuando hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja su trabajo estará terminado, y la torre y el templo se derrumbarán, y con un gran trueno, el mundo se desvanecerá. La versión simplificada que se vendía en Francia se componía de ocho discos de madera.
En realidad, la Torre de Hanoi y la leyenda india habían sido inventadas por el matemático francés Édouard Lucas (N. Claus de Siam es un anagrama de Lucas d'Amiens). Su compatriota, el escritor Henri de Parville amplió y adornó la leyenda poco tiempo después. A pesar de que el reto planteado es relativamente sencillo, la idea de Lucas ha demostrado ser una de las más fecundas de la historia de las matemáticas recreativas.
Si no lo has hecho antes, antes de seguir leyendo tal vez deberías familiarizarte con el rompezabezas y resolverlo por ti mismo. Puedes usar un modelo real o uno de los muchos simuladores que hay disponibles en Internet (mira en los enlaces del final).
Notación
Los discos se numerarán de 1 a 8 (o a n, en general), empezando por el más pequeño. Los postes (que se supondrán alineados de izquierda a derecha) serán marcados con letras mayúsculas (A, B y C). El inicial será A y el objetivo C.

 
fig. 1
Un algoritmo recursivo
La Torre de Hanoi suele aparecer como ejemplo para ilustrar el concepto de recursión en los cursos de programación de computadoras, ya que existe un algoritmo recursivo sorprendentemente simple que lo resuelve (por si alguien no lo sabe, un algoritmo es recursivo si se llama a sí mismo en alguno de sus pasos). Supongamos que queremos trasladar los ocho discos del poste A al poste C. Como el disco 8 siempre está abajo del todo, la única forma de hacerlo es trasladar primero la torre de siete discos 1...7 al poste B. Entonces podremos llevar el disco 8 de A a C, y para terminar tendremos que trasladar de nuevo la torre 1...7, ahora de B a C.
Una animación que muestra gráficamente el proceso de tres pasos descritos en el párrafo anterior. 
fig. 2
Pero los discos 1...7 forman una torre totalmente similar a la inicial, así que en dos de los tres pasos anteriores nos enfrentamos con un problema análogo al original. De hecho, puede resolverse de la misma forma, trasladando ahora la torre 1...6. Por ejemplo, el primer paso (trasladar la torre 1...7 de A a B) se puede descomponer en estos tres pasos.
Una animación que muestra gráficamente el proceso de tres pasos descritos en el párrafo anterior. 
fig. 3
Por supuesto, en dos de estos tres pasos nos volvemos a encontrar con el problema original, ahora con n = 6. El proceso no es infinito, ya que llega el momento en que trasladar una torre equivale a trasladar un solo disco (esto ocurre cuando la torre es de un solo disco, claro). En resumen, el algoritmo recursivo es el siguiente.
Algoritmo para trasladar la torre 1...n del poste X al poste Z, usando como auxiliar el poste Y.
  1. Si n = 1, lleva el disco 1 de X a Z y termina.
  2. Traslada la torre 1...n−1 usando este mismo algoritmo, de X a Y, usando como auxiliar Z.
  3. Lleva el disco n de X a Z.
  4. Traslada la torre 1...n−1 usando este mismo algoritmo, de Y a Z, usando como auxiliar X.
Este algoritmo siempre me ha parecido sorprendente, parece más la definición de un problema que su resolución. Si eres como yo tendrás que implementarlo en un lenguaje de programación concreto para convencerte de que funciona. En realidad, lo único que hace es especificar unos pasos inevitables. Por ejemplo, como vimos antes, para resolver el puzzle es obligatorio llevar el disco n de A a C, y para ello es obligatorio llevar antes la torre 1...n a B, etc. La secuencia de movimientos que produce este algoritmo es la única solución óptima (o sea, de longitud mínima) posible. El número de movimientos es M3(n) = 2n−1, como se puede demostrar fácilmente por inducción sobre el número de discos.
Se cumple para n = 1
M3(1) = 1 = 21−1.
Si se cumple para n, se cumple para d+1
Al ejecutarse el algoritmo para n+1 se llama a sí mismo dos veces para n, más un movimiento del disco n+1. Así que
M3(n+1) = 2 × M3(n) + 1 = 2 × (2n−1) + 1 = 2n+1−2+1 = 2n+1−1.
Para n = 8 el número de movimientos es de 28−1 = 255. Para n = 64, de 264−1 = 18.446.744.073.709.551.615. Si los bramanes de Benarés cambiaran un disco de sitio cada segundo necesitarían más de quinientos ochenta mil millones de años para terminar su tarea, unas cuarenta veces la edad del Universo.
Los algoritmos recursivos funcionan bien con ordenadores, pero son difíciles de aplicar para un ser humano. Si intentas resolver la torre de ocho discos aplicando el método descrito es fácil que te pierdas a no ser que vayas tomando notas de por dónde vas. Incluso para los ordenadores los algoritmos recursivos suelen ser «poco económicos», en el sentido de que consumen bastante memoria (y es que ellos también necesitan «tomar notas»). La alternativa a los algoritmos recursivos son los iterativos, en los que no hay llamadas a sí mismo, sino uno o varios bucles. Muy a menudo no existe o no se conoce una alternativa iterativa para un algoritmo recursivo, y cuando sí se conoce, suele ser mucho más complicada que la versión recursiva. Sin embargo, en el caso de la Torre de Hanoi, existen varios algoritmos iterativos muy simples.
Dos algoritmos iterativos
Antes de buscar un algoritmo iterativo resaltemos de nuevo un detalle importante. Aunque estamos hablando de varios algoritmos, la solución óptima (la de menos movimientos, que como hemos visto antes, para n = 8 es de 255) es única. O sea, la serie de movimientos que resulta de aplicar un algoritmo (óptimo) cualquiera será siempre la misma.
Una observación clave para encontrar un algoritmo iterativo es que el disco más pequeño se mueve una vez sí, una vez no. El primer movimiento hay que hacerlo con el disco 1. Está claro que después de mover el disco 1 (en cualquier ocasión) se debe mover un disco distinto (si no queremos perder el tiempo moviendo el mismo disco varias veces). Este movimiento debe hacerse entre los dos postes que no contienen el disco 1. A continuación no nos quedan más que dos alternativas: deshacer el último movimiento, lo que no tiene sentido, o volver a mover el disco 1. Además, cuando le toque le toque el turno a un disco distinto de 1, el movimiento estará perfectamente determinado ya que sólo intervendrán dos postes, y entre dos postes sólo hay un movimiento posible. Así que sólo puede haber duda cuando hay que mover el disco menor. Se sale de esta duda respetando una cualquiera de las siguientes reglas.
  • El disco pequeño se debe mover siempre cíclicamente en el mismo sentido: hacia la derecha (de A a B, de B a C y de C a A) o hacia la izquierda (de A a C, de C a B y de B a A), según el número de discos sea par o impar respectivamente.
  • El disco pequeño se debe colocar siempre, bien sobre un disco de número par, bien como único disco en el poste de destino (C) si el número de discos es impar o en el otro (B) si es par.
Teniendo en cuenta la primera regla se construye un algoritmo descubierto por Peter Buneman y Leon Levy.
  1. Si n es par, mueve el disco 1 hacia la derecha. Si es impar, muévelo hacia la izquierda.
  2. Si todos los discos están en C, fin. Si no, mueve un disco que no sea el 1 y vuelve al paso 1.
Teniendo en cuenta la segunda regla, el algoritmo podría ser el siguiente.
  1. Si es posible, lleva el disco 1 sobre un disco de número par. Si no es posible, llévalo al poste B si n es par o a C si n es impar.
  2. Si todos los discos están en C, fin. Si no, mueve un disco que no sea el 1 y vuelve al paso 1.
Para hacer este algoritmo más fácil de aplicar se pueden pintar los discos pares e impares de dos colores distintos. Incluso se puede pintar la base en tres trozos, como se ve en el dibujo (es como si los trozos de base fueran los discos n+1, n+2 yn+3).
Una Torre de Hanoi con los discos y la base de dos colores alternados. 
fig. 4
Con esta versión del rompecabezas el último algoritmo se puede redactar así:
  1. Lleva el disco 1 sobre un disco (o trozo de base) que no sea de su mismo color.
  2. Si todos los discos están en C, fin. Si no, mueve un disco distinto de 1 y vuelve al paso 1.
El disco más pequeño no es el único que no se coloca nunca sobre otro de distinto color, en ningún momento hay dos discos del mismo color juntos.
Los movimientos de cada disco
Analizando otra vez el algoritmo recursivo y el razonamiento que nos llevó a él podemos comprobar que (centrándonos en el caso de 8 discos) el disco 8 se mueve una sola vez, el 7 dos veces, el 6 cuatro veces, etc. El disco 1 se mueve 128 veces. La suma de estas potencias de 2 coincide con el total de movimientos antes calculado (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255). En general, el disco k se mueve 2n−k veces, y 20 + 21 + ... + 2n−1 = 2n−1.
Vamos ahora a fijarnos en los momentos concretos en que se mueve cada disco. Para empezar trataremos el caso de cinco discos que en esta ocasión pintaremos con cinco tonos de azul.
Una Torre de Hanoi con cinco discos de distintos colores. 
fig. 5
Ilustraremos los movimientos mediante una tira de 31 cuadrados, cada uno de los cuales representa un movimiento de la solución. Iremos coloreando estos cuadrados progresivamente con los colores de los discos, empezando por el disco mayor y yendo hacia arriba en la torre.
Una animación de una tira de 31 cuadrados, los cuales se van coloreando de acuerdo con la descripción que viene a continuación. 
fig. 6
El disco mayor (el 5 en este caso) protagoniza el movimiento central, dejando a izquierda y derecha sendos intervalos de 15 movimientos.
La tira con el cuadrado central coloreado. 
fig. 7
El disco 4 se mueve en los puntos centrales de cada intervalo de 15, dejando intervalos de 7. Los movimientos del disco 4 están separados por 15 movimientos, el primero a 7 movimientos del principio y el último a 7 movimientos del final.
La tira con los cuadrados correspondientes a los discos 5 y 4 coloreados. 
fig. 8
El disco 3 se mueve en los puntos centrales de cada intervalo de 7, dejando intervalos de 3. Los movimientos del disco 4 están separados por 7 movimientos, el primero a 3 movimientos del principio y el último a 3 movimientos del final.
La tira con los cuadrados correspondientes a los discos 5, 4 y 3 coloreados. 
fig. 9
El disco 2 se mueve en los puntos centrales de cada intervalo de 3, dejando huecos de un solo movimiento. Los movimientos del disco 2 están separados por 3 movimientos, el primero a 1 movimiento del principio y el último a 1 movimiento del final.
La tira con los cuadrados correspondientes a los discos 5, 4, 3 y 2 coloreados. 
fig. 10
Por fin, el disco 1 interviene en todos los movimientos que quedan, incluyendo el primero y el último. Se desplaza por tanto, como ya sabíamos, una vez sí y otra vez no.
La tira con todos los los cuadrados coloreados. 
fig. 11
En general, el disco k se mueve en 2nk ocasiones, hay entre cada movimiento y el siguiente 2k−1 movimientos, y su primer y último movimiento están separados 2k−1−1 movimientos del principio y del final respectivamente.
Esta distribución de movimientos tiene una estrecha relación con la de unos y ceros en la secuencia de números binarios. Estos son los primeros 32 números (del 0 al 31, todos los que se pueden escribir con cinco dígitos, o más precisamente con cinco bits) en codificación binaria, ordenados por columnas.
00000   01000   10000   11000
00001   01001   10001   11001
00010   01010   10010   11010
00011   01011   10011   11011
00100   01100   10100   11100
00101   01101   10101   11101
00110   01110   10110   11110
00111   01111   10111   11111
tabla 1
En cada paso de un número al siguiente hay exactamente un 0 que se cambia por un 1, y este 1 (marcado en negrita en la lista) es siempre el primero contando por la derecha.
Tanto el primer número (00000 no lo tenemos en cuenta) como el último terminan en 1 y entre un número que termina en 1 y el siguiente hay sólo otro separándolos.
El primer número terminado en 10 es 00010, ocupando el segundo (el 10º, en notación binaria) lugar de la lista. El último es 11110, también segundo, pero contando por el final. Entre un número terminado en 10 y el siguiente hay 3 = 22−1 (100−1 en binario).
El primer número terminado en 100 es 00100, el cuarto (el 100º, en notación binaria) de la lista. El último es 11100, cuarto contando por el final. Entre un número terminado en 100 y el siguiente hay 7 = 23−1 (1000−1 en binario).
Igual que hicimos antes con la tira de cuadros (pero en sentido inverso) podríamos seguir hasta el quinto dígito. En general, en la lista de los primeros 2n−1 números binarios (sin contar el 0) usaremos n dígitos (bits). Para cualquier k entre 1 y n, el primer número terminado en un 1 seguido de k−1 ceros está a 2k−1−1 del principio y el último está a la misma distancia del final; entre cualquier número de esta forma y el siguiente hay una separación de 2k−1. En definitiva, estos unos marcados en negrita en la lista indican qué disco interviene en cada movimiento de la Torre de Hanoi. Un ejemplo, volviendo a la torre de ocho discos. Supongamos que queremos saber qué disco se mueve en el movimiento 136. En binario y usando 8 bits, 136 se escribe 10001000, así que se mueve el disco 4, ya que el primer bit con valor uno contando de derecha a izquierda es el cuarto.
La dirección de los movimientos
Ya que sabemos qué disco se mueve en cada momento, veamos ahora si podemos determinar hacia dónde. Como ya hicimos antes al hablar del algoritmo de Buneman y Levy, consideraremos que el poste A está a la derecha del poste C, así que si un disco está en C y decimos que se mueve hacia la derecha, irá a para a A. Análogamente, un disco en A que se mueve hacia la izquierda irá a parar a C.
En primer lugar, el disco n realiza un solo movimiento hacia la izquierda, como se aprecia en la figura 2 (porque hemos fijado el poste de destino en C; en caso contrario iría hacia la derecha). El disco n−1 se mueve primero de A a B y después a C, desplazándose en ambos casos hacia la derecha. Se ve en la siguiente animación (disco 7).
Una animación que muestra los desplazamientos del disco 7 en una torre de 8 discos. 
fig. 12
En general, si un disco k realiza todos sus movimientos hacia un lado, el disco k−1 tiene que hacerlos en sentido contrario. Se puede decir que los movimientos de k−1 consisten en apartarse para permitir los movimientos de k. En conclusión, cada disco se desplaza siempre en una dirección fija: hacia la izquierda si nk es par y hacia la derecha si nk es impar. El movimiento del disco 1 que vimos antes es una consecuencia de esto.
Una Torre de Hanoi de 8 discos en la que se han sustituido los números de los discos por flechas que indican la dirección en que se tienen que mover. 
fig. 13
Sabemos ya qué disco se mueve en cada momento y en qué dirección. Siguiendo con el ejemplo de antes, en una torre de 8 discos, el movimiento número 136 (10001000 en binario) lo realiza el disco 4 hacia la izquierda (porque 8−4 es par).
Estamos en condiciones de escribir un tercer algoritmo iterativo basado en los números binarios.
  • Para m = 1 hasta m = 2n−1...
    • Mueve el disco k en la dirección d, donde k es el lugar ocupado por el primer 1 que aparece en la forma binaria dem (contando de derecha a izquierda) y d es izquierda si nk es par y derecha si nk es impar.
Es posible también determinar directamente a partir de la forma binaria de m el poste de origen y de destino del movimiento (en lugar del disco a mover y la dirección del movimiento), obteniéndose un algoritmo muy corto y rápido. (Este algoritmo aparece en la página de M. Kolar.)
La posición de los discos
Antes vimos que la representación binaria del número de cada movimiento de la solución nos mostraba qué disco se movía y en qué dirección. Ahora vamos a ver que es posible incluso determinar en qué poste se encuentra cada disco, de acuerdo con el método descubierto por Timothy R. S. Walsh. La idea es ir colocando los discos por orden decreciente de tamaño.
La nueva idea clave es que el disco k se encuentra sobre el disco k+1 si, y sólo si, en la representación binaria del número de movimiento los bits k y k+1 (contando de derecha a izquierda) coinciden. Con esto y el hecho ya conocido de que sólo pueden estar en contacto discos de distinta paridad es posible ir colocando todos los discos. Si suponemos que las bases de los postes están los discos n+1, n+2 y n+3 no hace falta tratar el disco n como una excepción; estará en el poste inicial cuando el bit de la izquierda sea 0 y en el poste de destino cuando sea 1. Para mayor facilidad podemos colorear el puzzle como en la figura 4.
Por ejemplo, después del movimiento 136 (010001000), el disco 8 (010001000) no está sobre el «disco 9», es decir, sobre la base del poste inicial, así que tiene que estar sobre el 11 (la base del poste de destino). El disco 7 (010001000) no se encuentra encima del 8, así que, por paridad, tiene que estar sobre el 10 (base del poste B). El disco 6 (010001000) se encuentra sobre el 7, y el 5 (010001000) sobre el 6. El disco 4 (010001000) no está encima del 5, así que está en el poste A (no puede estar en C, porque tendría que colocarse encima del 8, que tiene la misma paridad). El disco 3 (010001000) no está sobre el 4, y por paridad está sobre el 8, en el poste C (arriba del poste B está 5, impar como 3). Para terminar, el disco 2 (010001000) está encima del 3 y el 1 (010001000) está encima del 2. La siguiente animación ilustra todo el proceso.
Animación que ilustra el proceso descrito en el párrafo anterior. 
fig. 14